`:top
Der `!metrische `F33f`_`[Tensor`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Tensor]`_`f`! (auch `!Metriktensor`! oder `!Maßtensor`!) dient dazu, mathematische `F33f`_`[Räume`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Raum_(Mathematik)]`_`f, insbesondere differenzierbare `F33f`_`[Mannigfaltigkeiten`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Mannigfaltigkeit]`_`f, mit einem Maß für Abstände und Winkel auszustatten.
Dieses Maß muss nicht notwendig alle Bedingungen erfüllen, die in der Definition eines `F33f`_`[metrischen Raums`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Metrischer_Raum]`_`f an eine `*Metrik`* gestellt werden: im `F33f`_`[Minkowski-Raum`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Minkowski-Raum]`_`f der `F33f`_`[Speziellen Relativitätstheorie`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Spezielle_Relativitätstheorie]`_`f gelten diese Bedingungen nur für Abstände, die entweder einheitlich `F33f`_`[raumartig`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Raumartig]`_`f oder einheitlich `F33f`_`[zeitartig`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Zeitartig]`_`f sind.
Für die `F33f`_`[Differentialgeometrie`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Differentialgeometrie]`_`f und die `F33f`_`[Allgemeine Relativitätstheorie`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Allgemeine_Relativitätstheorie]`_`f bedeutsam ist, dass der metrische Tensor, anders als eine über `F33f`_`[inneres Produkt`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Innenproduktraum]`_`f und `F33f`_`[Norm`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Norm_(Mathematik)]`_`f definierte Metrik, vom Ort abhängen kann.
>>Contents
• `F0af`_`[Definition und Bedeutung`#definition-und-bedeutung]`_`f
• `F0af`_`[Koordinatendarstellung`#koordinatendarstellung]`_`f
• `F0af`_`[Länge von Kurven`#l-nge-von-kurven]`_`f
• `F0af`_`[Linienelement`#linienelement]`_`f
• `F0af`_`[Induzierter Metriktensor`#induzierter-metriktensor]`_`f
• `F0af`_`[Beispiele`#beispiele]`_`f
• `F0af`_`[Euklidischer Raum`#euklidischer-raum]`_`f
• `F0af`_`[Minkowski-Raum (spezielle Relativitätstheorie)`#minkowski-raum-spezielle-relativit-tstheorie]`_`f
• `F0af`_`[Literatur`#literatur]`_`f
-─
>>Definition und Bedeutung
Der metrische Tensor g {\\displaystyle g} über einem `F33f`_`[affinen Punktraum`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Affiner_Raum]`_`f A {\\displaystyle A} mit reellem `F33f`_`[Verschiebungsvektorraum`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Vektorraum]`_`f V {\\displaystyle V} ist eine Abbildung von A {\\displaystyle A} in den Raum der Skalarprodukte auf V {\\displaystyle V} . Das heißt, für jeden Punkt P ∈ ∈ A {\\displaystyle P\\in A} ist
g ( P ) : : V × × V → → R {\\displaystyle g(P)\\colon V\\times V\\to \\mathbb {R} }
eine `F33f`_`[positiv definite`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Positiv_definit]`_`f, `F33f`_`[symmetrische`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Symmetrische_Bilinearform]`_`f `F33f`_`[Bilinearform`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Bilinearform]`_`f.
In Anlehnung an die Unterscheidung zwischen `F33f`_`[Metrik und Pseudometrik`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Metrischer_Raum]`_`f wird manchmal auch der Fall betrachtet, dass g ( P ) {\\displaystyle g(P)} für einige oder alle Punkte P {\\displaystyle P} nur positiv semidefinit ist, d. h. die Forderung der Definitheit
g ( P ) ( x → → , x → → ) > 0 {\\displaystyle g(P)\\left({\\vec {x}},\\,{\\vec {x}}\\right)>0} für alle 0 ≠ ≠ x → → ∈ ∈ V {\\displaystyle 0\\neq {\\vec {x}}\\in V}
wird abgeschwächt zu
g ( P ) ( x → → , x → → ) ≥ ≥ 0 {\\displaystyle g(P)\\left({\\vec {x}},\\,{\\vec {x}}\\right)\\geq 0} für alle x → → ∈ ∈ V {\\displaystyle {\\vec {x}}\\in V} .
Ein solcher Tensor g {\\displaystyle g} heißt dann `!pseudometrischer Tensor`!.
Ein metrischer Tensor definiert eine (vom Punkt P {\\displaystyle P} abhängige) Länge (`F33f`_`[Norm`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Norm_(Mathematik)]`_`f) ‖ ‖ x → → ‖ ‖ P {\\displaystyle \\|{\\vec {x}}\\|_{P}} auf dem Vektorraum V {\\displaystyle V} :
‖ ‖ x → → ‖ ‖ P = g ( P ) ( x → → , x → → ) {\\displaystyle \\|{\\vec {x}}\\|_{P}={\\sqrt {g(P)\\left({\\vec {x}},\\,{\\vec {x}}\\right)}}}
Analog zum `F33f`_`[Standardskalarprodukt`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Standardskalarprodukt]`_`f ist der Winkel θ θ ∈ ∈ [ 0 , π π ] {\\displaystyle \\theta \\in [0,\\pi ]} im Punkt P {\\displaystyle P} zwischen zwei Vektoren x → → , y → → ∈ ∈ V {\\displaystyle {\\vec {x}},{\\vec {y}}\\in V} definiert durch:
cos θ θ = g ( P ) ( x → → , y → → ) g ( P ) ( x → → , x → → ) g ( P ) ( y → → , y → → ) {\\displaystyle \\cos \\theta ={\\frac {g(P)({\\vec {x}},{\\vec {y}})}{{\\sqrt {g(P)({\\vec {x}},{\\vec {x}})}}\\,{\\sqrt {g(P)({\\vec {y}},{\\vec {y}})}}}}}
>>Koordinatendarstellung
Wenn ein lokales Koordinatensystem ( x i ) {\\displaystyle (x^{i})} auf V {\\displaystyle V} mit Basis ( e i ) {\\displaystyle (e_{i})} aus V {\\displaystyle V} gewählt wird, schreibt man die Komponenten von g {\\displaystyle g} als g i j ( P ) = g ( P ) ( e i , e j ) {\\displaystyle g_{ij}(P)=g(P)(e_{i},e_{j})} . Unter Verwendung der `F33f`_`[einsteinschen Summenkonvention`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Einsteinsche_Summenkonvention]`_`f ist dann für die Vektoren x → → = x i e → → i {\\displaystyle {\\vec {x}}=x^{i}{\\vec {e}}_{i}} und y → → = y i e → → i {\\displaystyle {\\vec {y}}=y^{i}{\\vec {e}}_{i}}
g ( P ) ( x → → , y → → ) = g i j ( P ) x i y j {\\displaystyle g(P)\\left({\\vec {x}},\\,{\\vec {y}}\\right)=g_{ij}(P)\\,x^{i}\\,y^{j}} .
Im Sinne der `F33f`_`[Kategorientheorie`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Kategorientheorie]`_`f ist der metrische Tensor kontravariant, da unter (affin) linearen injektiven Abbildungen φ φ : : ( A , V ) → → ( B , W ) {\\displaystyle \\varphi \\colon (A,V)\\to (B,W)} natürlicherweise aus einem metrischen Tensor auf ( B , W ) {\\displaystyle (B,W)} ein metrischer Tensor auf ( A , V ) {\\displaystyle (A,V)} `F33f`_`[konstruiert`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Rücktransport]`_`f werden kann,
( φ φ ∗ ∗ g ) ( P ) ( x → → , y → → ) = g ( φ φ ( P ) ) ( φ φ ∗ ∗ ( x → → ) , φ φ ∗ ∗ ( y → → ) ) {\\displaystyle (\\varphi ^{*}g)(P)({\\vec {x}},{\\vec {y}})=g{\\bigl (}\\varphi (P){\\bigr )}{\\Bigl (}\\varphi _{*}({\\vec {x}}),\\varphi _{*}({\\vec {y}}){\\Bigr )}} .
In der `F33f`_`[Physik`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Indexnotation_von_Tensoren]`_`f wird der metrische Tensor, oder besser seine Koordinatendarstellung g i j {\\displaystyle g_{ij}} als `F33f`_`[kovariant`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Kovarianz_(Physik)]`_`f bezeichnet, da sich seine Komponenten unter einem Koordinatenwechsel in jedem Index wie die Basis transformieren. Ist ein Koordinatenwechsel als
x k = A k i x ~ ~ i {\\displaystyle x^{k}=A^{k}{}_{i}\\;{\\tilde {x}}^{i}} bzw. x ~ ~ i = ( A − − 1 ) i k x k {\\displaystyle {\\tilde {x}}^{i}=(A^{-1})^{i}{}_{k}\\;x^{k}}
gegeben, so transformieren sich Basisvektoren als
e ~ ~ i = A k i e k = ( A T ) i k e k {\\displaystyle {\\tilde {e}}_{i}=A^{k}{}_{i}\\;e_{k}=(A^{T})_{i}{}^{k}\\;e_{k}}
und es gilt für den metrischen Tensor
g ~ ~ i j = g ( P ) ( e ~ ~ i , e ~ ~ j ) = ( A T ) i k ( A T ) j l g k l . {\\displaystyle {\\tilde {g}}_{ij}=g(P)({\\tilde {e}}_{i},\\,{\\tilde {e}}_{j})=(A^{T})_{i}{}^{k}\\,(A^{T})_{j}{}^{l}\\;g_{kl}.}
>>Länge von Kurven
Ist eine differenzierbare Kurve γ γ : : [ a , b ] → → A {\\displaystyle \\gamma \\colon [a,b]\\to A} im affinen Punktraum gegeben, so hat diese in jedem Zeitpunkt t {\\displaystyle t} einen Tangentialvektor
x → → ( t ) = γ γ ˙ ˙ ( t ) = d d t γ γ ( t ) {\\displaystyle {\\vec {x}}(t)={\\dot {\\gamma }}(t)={\\frac {\\mathrm {d} }{\\mathrm {d} t}}\\gamma (t)} .
Der gesamten Kurve oder einem Segment davon kann man nun mit Hilfe des metrischen Tensors eine Länge
L [ a , b ] ( γ γ ) = ∫ ∫ a b g ( γ γ ( t ) ) ( x → → ( t ) , x → → ( t ) ) d t = ∫ ∫ a b ‖ ‖ γ γ ˙ ˙ ( t ) ‖ ‖ γ γ ( t ) d t {\\displaystyle L_{[a,b]}(\\gamma )=\\int _{a}^{b}{\\sqrt {g{\\bigl (}\\gamma (t){\\bigr )}{\\Bigl (}\\,{\\vec {x}}(t),\\,{\\vec {x}}(t)\\,{\\Bigr )}}}\\,\\mathrm {d} t=\\int _{a}^{b}\\|{\\dot {\\gamma }}(t)\\|_{\\gamma (t)}\\,\\mathrm {d} t}
zuordnen.
>>>Linienelement
Der Ausdruck
d s 2 = g i j d x i d x j {\\displaystyle \\mathrm {d} s^{2}=g_{ij}\\mathrm {d} x^{i}\\mathrm {d} x^{j}} ,
wieder unter der Verwendung der Summenkonvention, heißt `!Linienelement`!. Substituiert man gemäß der Kettenregel
d x i = d x i d t d t {\\displaystyle \\mathrm {d} x^{i}={\\frac {\\mathrm {d} x^{i}}{\\mathrm {d} t}}\\mathrm {d} t} und d x j = d x j d t d t {\\displaystyle \\mathrm {d} x^{j}={\\frac {\\mathrm {d} x^{j}}{\\mathrm {d} t}}\\mathrm {d} t} ,
so ergibt sich
d s 2 = g i j d x i d t d x j d t d t 2 {\\displaystyle \\mathrm {d} s^{2}=g_{ij}{\\frac {\\mathrm {d} x^{i}}{\\mathrm {d} t}}{\\frac {\\mathrm {d} x^{j}}{\\mathrm {d} t}}\\mathrm {d} t^{2}} .
d s {\\displaystyle \\mathrm {d} s} ist daher der Integrand des obigen Integrals zur Bestimmung einer `F33f`_`[Kurvenlänge`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Länge_(Mathematik)]`_`f.
>>Induzierter Metriktensor
Hat man eine p {\\displaystyle p} -dimensionale `F33f`_`[Untermannigfaltigkeit`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Untermannigfaltigkeit]`_`f eines `F33f`_`[riemannschen Raumes`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Riemannscher_Raum]`_`f mit der Metrik ( g i j ) {\\displaystyle (g_{ij})} , die mittels der Parameterdarstellung
q i = q i ( t 1 , t 2 , … … , t p ) , i = 1 , … … , n {\\displaystyle q^{i}=q^{i}(t^{1},t^{2},\\dots ,t^{p}),\\qquad i=1,\\dots ,n}
gegeben ist, wird eine Metrik ( a α α β β ) {\\displaystyle (a_{\\alpha \\beta })} induziert. Die t α α {\\displaystyle t^{\\alpha }} nennt man `*induzierte Koordinaten`*. Betrachtet man eine Kurve
t α α = t α α ( t ) , a ≤ ≤ t ≤ ≤ b , α α = 1 , … … , p {\\displaystyle t^{\\alpha }=t^{\\alpha }(t),\\qquad a\\leq t\\leq b,\\qquad \\alpha =1,\\dots ,p}
auf dieser Teilmannigfaltigkeit, so erhält man für die Bogenlänge gemäß der `F33f`_`[Kettenregel`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Kettenregel]`_`f
s = ∫ ∫ a b g i j d q i d t d q j d t d t = ∫ ∫ a b g i j ∂ ∂ q i ∂ ∂ t α α d t α α d t ∂ ∂ q j ∂ ∂ t β β d t β β d t d t = ∫ ∫ a b g i j ∂ ∂ q i ∂ ∂ t α α ∂ ∂ q j ∂ ∂ t β β d t α α d t d t β β d t d t {\\displaystyle s=\\int _{a}^{b}{\\sqrt {g_{ij}{\\frac {\\mathrm {d} q^{i}}{\\mathrm {d} t}}{\\frac {\\mathrm {d} q^{j}}{\\mathrm {d} t}}}}\\mathrm {d} t=\\int _{a}^{b}{\\sqrt {g_{ij}{\\frac {\\partial q^{i}}{\\partial t^{\\alpha }}}{\\frac {\\mathrm {d} t^{\\alpha }}{\\mathrm {d} t}}{\\frac {\\partial q^{j}}{\\partial t^{\\beta }}}{\\frac {\\mathrm {d} t^{\\beta }}{\\mathrm {d} t}}}}\\mathrm {d} t=\\int _{a}^{b}{\\sqrt {g_{ij}{\\frac {\\partial q^{i}}{\\partial t^{\\alpha }}}{\\frac {\\partial q^{j}}{\\partial t^{\\beta }}}{\\frac {\\mathrm {d} t^{\\alpha }}{\\mathrm {d} t}}{\\frac {\\mathrm {d} t^{\\beta }}{\\mathrm {d} t}}}}\\mathrm {d} t} .
Die Größe
a α α β β := g i j ∂ ∂ q i ∂ ∂ t α α ∂ ∂ q j ∂ ∂ t β β {\\displaystyle a_{\\alpha \\beta }:=g_{ij}{\\frac {\\partial q^{i}}{\\partial t^{\\alpha }}}{\\frac {\\partial q^{j}}{\\partial t^{\\beta }}}}
ist der `*induzierte Metriktensor`*. Mit diesem ergibt sich die Kurvenlänge schließlich als
s = ∫ ∫ a b a α α β β d t α α d t d t β β d t d t {\\displaystyle s=\\int _{a}^{b}{\\sqrt {a_{\\alpha \\beta }{\\frac {\\mathrm {d} t^{\\alpha }}{\\mathrm {d} t}}{\\frac {\\mathrm {d} t^{\\beta }}{\\mathrm {d} t}}}}\\mathrm {d} t} .
>>Beispiele
>>>Euklidischer Raum
In einem `F33f`_`[euklidischen Raum`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Euklidischer_Raum]`_`f mit `F33f`_`[kartesischen Koordinaten`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Kartesisches_Koordinatensystem]`_`f ist der metrische Tensor durch die `F33f`_`[Einheitsmatrix`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Einheitsmatrix]`_`f
g i j = δ δ i j {\\displaystyle g_{ij}=\\delta _{ij}}
gegeben. Im euklidischen Raum ist nämlich das Skalarprodukt ⟨ ⟨ x , y ⟩ ⟩ = ∑ ∑ i = 1 n x i y i {\\displaystyle \\textstyle \\langle x,y\\rangle =\\sum _{i=1}^{n}x^{i}y^{i}} gegeben und nach Voraussetzung soll der metrische Tensor diesem Skalarprodukt entsprechen. Also gilt für diesen in lokalen Koordinaten g i j = ⟨ ⟨ e i , e j ⟩ ⟩ = δ δ i j , {\\displaystyle g_{ij}=\\langle e_{i},e_{j}\\rangle =\\delta _{ij},} wobei e 1 , … … , e n {\\displaystyle e_{1},\\dots ,e_{n}} die Vektoren der `F33f`_`[Standardbasis`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Standardbasis]`_`f sind. Für beliebige Vektoren x = x i e i {\\displaystyle x=x^{i}e_{i}} und y = y j e j {\\displaystyle y=y^{j}e_{j}} des euklidischen Raums gilt
g i j x i y j = δ δ i j x i y j = ∑ ∑ i = 1 n x i y i . {\\displaystyle g_{ij}\\,x^{i}y^{j}=\\delta _{ij}x^{i}y^{j}=\\sum _{i=1}^{n}x^{i}y^{i}.}
Hier wird die `F33f`_`[einsteinsche Summenkonvention`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Einsteinsche_Summenkonvention]`_`f verwendet.
Für die Kurvenlänge
L = ∫ ∫ a b ( d x ) 2 {\\displaystyle L=\\int _{a}^{b}{\\sqrt {\\left(\\mathrm {d} x\\right)^{2}}}}
und den Winkel
cos θ θ = u v | u | ⋅ ⋅ | v | {\\displaystyle \\cos \\theta ={\\frac {\\mathbf {u} \\,\\mathbf {v} }{|\\mathbf {u} |\\cdot |\\mathbf {v} |}}}
erhält man die üblichen Formeln der `F33f`_`[Vektoranalysis`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Vektoranalysis]`_`f.
Wenn eine Mannigfaltigkeit in einen euklidischen Raum mit kartesischen Koordinaten eingebettet ist, dann ergibt sich ihr metrischer Tensor aus der `F33f`_`[Jacobi-Matrix`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Jacobi-Matrix]`_`f J {\\displaystyle J} der Einbettung als
g = J T J . {\\displaystyle g=J^{T}J.}
In einigen anderen Koordinatensystemen lautet der metrische Tensor und das Linienelement des Euklidischen Raums wie folgt:
• In `F33f`_`[Polarkoordinaten`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Polarkoordinaten]`_`f ( x 1 , x 2 ) = ( r , θ θ ) {\\displaystyle (x^{1},x^{2})=(r,\\theta )} :
g = [ 1 0 0 r 2 ] {\\displaystyle g={\\begin{bmatrix}1&0\\\\0&r^{2}\\end{bmatrix}}} , bzw. d s 2 = d r 2 + r 2 d θ θ 2 {\\displaystyle \\mathrm {d} s^{2}=\\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\\mathrm {d} \\theta ^{2}}
• In `F33f`_`[Zylinderkoordinaten`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Zylinderkoordinaten]`_`f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = ( r , φ φ , z ) {\\displaystyle (x^{1},x^{2},x^{3})=(r,\\varphi ,z)} :
g = [ 1 0 0 0 r 2 0 0 0 1 ] {\\displaystyle g={\\begin{bmatrix}1&0&0\\\\0&r^{2}&0\\\\0&0&1\\end{bmatrix}}} , bzw. d s 2 = d r 2 + r 2 d φ φ 2 + d z 2 {\\displaystyle \\mathrm {d} s^{2}=\\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\\mathrm {d} \\varphi ^{2}+\\mathrm {d} z^{2}}
• In `F33f`_`[Kugelkoordinaten`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Kugelkoordinaten]`_`f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = ( r , θ θ , φ φ ) {\\displaystyle (x^{1},x^{2},x^{3})=(r,\\theta ,\\varphi )} :
g = [ 1 0 0 0 r 2 0 0 0 ( r sin θ θ ) 2 ] {\\displaystyle g={\\begin{bmatrix}1&0&0\\\\0&r^{2}&0\\\\0&0&(r\\sin \\theta )^{2}\\end{bmatrix}}} , bzw. d s 2 = d r 2 + r 2 d θ θ 2 + r 2 sin 2 θ θ d φ φ 2 {\\displaystyle \\mathrm {d} s^{2}=\\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\\,\\mathrm {d} \\theta ^{2}+r^{2}\\sin ^{2}\\theta \\;\\mathrm {d} \\varphi ^{2}}
Herleitung für Kugelkoordinaten
⟶
⟶
{\\displaystyle \\quad \\longrightarrow }
Die `F33f`_`[Koordinatentransformation`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Koordinatentransformation]`_`f für die Kugelkoordinaten lautet als Vektorgleichung:
r → → = ( x y z ) = ( r sin θ θ cos φ φ r sin θ θ sin φ φ r cos θ θ ) {\\displaystyle {\\vec {r}}={\\begin{pmatrix}x\\\\y\\\\z\\end{pmatrix}}={\\begin{pmatrix}r\\sin \\theta \\cos \\varphi \\\\r\\sin \\theta \\sin \\varphi \\\\r\\cos \\theta \\end{pmatrix}}} .
Die lokalen `F33f`_`[Basisvektoren`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Basis_(Vektorraum)]`_`f b → → 1 , b → → 2 {\\displaystyle {\\vec {b}}_{1},{\\vec {b}}_{2}} und b → → 3 {\\displaystyle {\\vec {b}}_{3}} verlaufen tangential zu den `F33f`_`[Koordinatenlinien`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Koordinatenlinie]`_`f und ergeben sich somit aus der Koordinatentransformation durch partielle Ableitung nach den Koordinaten r , θ θ {\\displaystyle r,\\theta } und φ φ {\\displaystyle \\varphi } . Also gilt:
b → → 1 = ∂ ∂ r → → ∂ ∂ r = ( sin θ θ cos φ φ sin θ θ sin φ φ cos θ θ ) , b → → 2 = ∂ ∂ r → → ∂ ∂ θ θ = ( r cos θ θ cos φ φ r cos θ θ sin φ φ − − r sin θ θ ) , b → → 3 = ∂ ∂ r → → ∂ ∂ φ φ = ( − − r sin θ θ sin φ φ r sin θ θ cos φ φ 0 ) {\\displaystyle {\\vec {b}}_{1}={\\frac {\\partial {\\vec {r}}}{\\partial r}}={\\begin{pmatrix}\\sin \\theta \\cos \\varphi \\\\\\sin \\theta \\sin \\varphi \\\\\\cos \\theta \\end{pmatrix}},\\quad {\\vec {b}}_{2}={\\frac {\\partial {\\vec {r}}}{\\partial \\theta }}={\\begin{pmatrix}r\\cos \\theta \\cos \\varphi \\\\r\\cos \\theta \\sin \\varphi \\\\-r\\sin \\theta \\end{pmatrix}},\\quad {\\vec {b}}_{3}={\\frac {\\partial {\\vec {r}}}{\\partial \\varphi }}={\\begin{pmatrix}-r\\sin \\theta \\sin \\varphi \\\\r\\sin \\theta \\cos \\varphi \\\\0\\end{pmatrix}}} .
Die Komponenten des metrischen Tensors g = ( g i j ) {\\displaystyle g=(g_{ij})} sind die Skalarprodukte dieser Basisvektoren:
g i j = b → → i b → → j ( i , j ∈ ∈ { 1 , 2 , 3 } {\\displaystyle g_{ij}={\\vec {b}}_{i}{\\vec {b}}_{j}\\quad (i,j\\in \\{1,2,3\\}} .
Die Rechnung ergibt:
g 11 = 1 , g 22 = r 2 , u n d g 33 = r 2 sin 2 θ θ {\\displaystyle g_{11}=1,\\quad g_{22}=r^{2},\\quad und\\quad g_{33}=r^{2}\\sin ^{2}\\theta } .
Die übrigen Skalarprodukte sind null. Dies bedeutet, dass die Basisvektoren paarweise aufeinander senkrecht stehen: die Kugelkoordinaten bilden ein orthogonales Koordinatensystem.
Für das Linienelement ergibt sich somit
d s 2 = d r 2 + r 2 d θ θ 2 + r 2 sin 2 θ θ d φ φ 2 {\\displaystyle \\mathrm {d} s^{2}=\\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\\,\\mathrm {d} \\theta ^{2}+r^{2}\\sin ^{2}\\theta \\;\\mathrm {d} \\varphi ^{2}} .
Die Herleitungen für die anderen Koordinatensysteme verlaufen entsprechend.
>>>Minkowski-Raum (spezielle Relativitätstheorie)
→
Hauptartikel
:
Minkowski-Raum
Der flache `*Minkowski-Raum`* der `F33f`_`[speziellen Relativitätstheorie`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Spezielle_Relativitätstheorie]`_`f beschreibt eine vierdimensionale `F33f`_`[Raum-Zeit`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Raumzeit]`_`f ohne `F33f`_`[Gravitation`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Gravitation]`_`f. Räumliche Abstände und Zeitspannen hängen in diesem Raum von der Wahl eines `F33f`_`[Inertialsystems`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Inertialsystem]`_`f ab; wenn man einen physikalischen Vorgang in zwei verschiedenen, gleichförmig gegeneinander bewegten Inertialsystemen beschreibt, können sie verschiedene Werte annehmen.
Invariant unter `F33f`_`[Lorentztransformationen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Lorentztransformation]`_`f ist hingegen der sogenannte `!Viererabstand`!, der räumliche und zeitliche Abstände zusammenfasst. Unter Verwendung der `F33f`_`[Lichtgeschwindigkeit`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Lichtgeschwindigkeit]`_`f `*c`* berechnet sich dieser Viererabstand aus räumlichem Abstand d r {\\displaystyle \\mathrm {d} \\mathbf {r} } und Zeitspanne d t {\\displaystyle \\,\\mathrm {d} t} als
d s 2 = c 2 ( d t ) 2 − − ( d r ) 2 {\\displaystyle \\mathrm {d} s^{2}=c^{2}\\,\\left(\\mathrm {d} t\\right)^{2}\\,-\\left(\\mathrm {d} \\mathbf {r} \\right)^{2}}
Im Minkowski-Raum wird der kontravariante Orts-Vierervektor definiert durch x μ μ = ( x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) = ( c t , x , y , z ) {\\displaystyle \\,x^{\\mu }=(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})=(ct,x,y,z)} .
Der metrische Tensor lautet in einer Konvention, die vor allem in der `F33f`_`[Quantenfeldtheorie`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Quantenfeldtheorie]`_`f verwendet wird (`F33f`_`[Signatur`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Signatur_(lineare_Algebra)]`_`f −2, also +,−,−,−)
η η μ μ ν ν = [ 1 0 0 0 0 − − 1 0 0 0 0 − − 1 0 0 0 0 − − 1 ] ≡ ≡ diag ( 1 , − − 1 , − − 1 , − − 1 ) {\\displaystyle \\eta _{\\mu \\nu }={\\begin{bmatrix}1&0&0&0\\\\0&-1&0&0\\\\0&0&-1&0\\\\0&0&0&-1\\end{bmatrix}}\\equiv \\operatorname {diag} (1,-1,-1,-1)} .
In einer Konvention, die hauptsächlich in der `F33f`_`[Allgemeinen Relativitätstheorie`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Allgemeine_Relativitätstheorie]`_`f benutzt wird (Signatur +2, also −,+,+,+), schreibt man
η η μ μ ν ν = [ − − 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] ≡ ≡ diag ( − − 1 , 1 , 1 , 1 ) {\\displaystyle \\eta _{\\mu \\nu }={\\begin{bmatrix}-1&0&0&0\\\\0&1&0&0\\\\0&0&1&0\\\\0&0&0&1\\end{bmatrix}}\\equiv \\operatorname {diag} (-1,1,1,1)} .
Dabei ist allerdings zu beachten, dass es sich hierbei trotz der allgemein verwendeten Bezeichnung weder um einen metrischen noch um einen pseudometrischen Tensor handelt, weil er `!nicht positiv (semi-) definit`! ist, was sofort aus der Signatur hervorgeht. Das heißt, η η ν ν μ μ {\\displaystyle \\eta _{\\nu \\mu }} stellt lediglich eine symmetrische Bilinearform bezüglich einer bestimmten Basis dar, keine positiv (semi-)definite symmetrische Bilinearform.
In der Allgemeinen Relativitätstheorie wird der metrische Tensor durch Lösen der `F33f`_`[Einsteinschen Feldgleichungen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Einsteinsche_Feldgleichungen]`_`f gefunden. Er ist ortsabhängig und bildet daher ein `F33f`_`[Tensorfeld`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Tensorfeld]`_`f, da die Krümmung der `F33f`_`[Raumzeit`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Raumzeit]`_`f an verschiedenen Punkten meist verschieden ist.
>>Literatur
• Rainer Oloff: Geometrie der Raumzeit: Eine mathematische Einführung in die Relativitätstheorie. Springer-Verlag, 2013, ISBN 3-322-94260-0.
• Chris Isham: Modern Differential Geometry for Physicists. Allied Publishers, 2002, ISBN 81-7764-316-9.
• W. Werner: Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik. Band 1. Springer Vieweg, ISBN 978-3-658-25271-7.
`c`F0af`_`[↑ Back to top`#top]`_`f`a